形状解析: 3D プリントされた形状の表現力を最適化する

現在、「ビッグデータ」、「3Dデジタル化」、「人工知能AI」、「ディープラーニング」、「AR/VR」はデジタルインテリジェンスの分野で注目されている研究方向であり、新しい概念が次々と生まれ、一般の人々を魅了しています。実際、「物事がどのように変化しても、本質的には同じままです」!以下の内容は、2017 年に Wu Huaiyu 博士が新たに出版した書籍「3D プリンティング: 3 次元インテリジェントデジタルクリエーション」(第 3 版) から抜粋したものです。著者の Wu Huaiyu 氏 (中国科学院博士、北京大学ポストドクター研究員) は、中国 3D テクノロジー産業連盟の副会長です。

[形状解析：3Dプリント形状の表現力の最適化]
まず、図6-40に示す有名なクラドニ板実験を見てみましょう。 18世紀、ドイツの物理学者で音楽家のクラドニは、薄い金属板の上に細かい砂を均等に撒き、バイオリンを演奏しました。音の振動により、これらの細かい砂は「踊り」始め、ある場所から他の場所へと集まり（定在波を形成）、最終的にさまざまな対称的なパターンを形成します。クラドニは、異なる周波数の音波は異なるパターンを形成し、周波数が高くなるほど形成されるパターンはより複雑になることを発見しました。

図 6-40 クラドニプレート実験 (画像提供: ホイップル博物館)
ヒント：
実は、この現象は我が国では秦以前の時代からすでに発見され、利用されていました。当時は、図6-41に示すように、現在の洗面器と形状が似ている「魚洗い」と呼ばれる洗浄器具がありました。洗面器の両側に取っ手が付いており、これを両取っ手と呼び、また、洗面器の底には魚の模様が施されていることから「魚洗い器」とも呼ばれています。魚を洗うときに不思議なのは、洗面器の縁を手で素早くリズミカルにこすると、叩いたように洗面器が振動し、水に波紋が現れることです。しっかりこすると水柱が噴射されます。具体的には、洗面器の半分に水を入れ、両手で2つの取っ手を軽くこすり、手と取っ手の間の摩擦を利用して、取っ手を振動させます。同時に、ハンドルの振動が水面を伝播し、水槽の壁から反射した反射波と重なり合って二次元横定在波を形成します。振動周波数が水盤の固有振動数に近い場合、共振が起こり、水面から水が飛び散ります。

図 6-41 古代中国の「魚洗い」によって形成された定在波と共鳴 (画像ソース: Microfotos、iyaya.com)
このことから、音には実は「形」があることがわかります。実際、はるか昔、古代エジプト人は幾何学を「凍った音楽」と呼び、幾何学を使って楽譜を記録していました。太鼓から発せられる音の周波数を聞くことで太鼓の形を推測できると大胆に推測する人さえいます。（「太鼓の形が聞こえるか？」）。答えは「完全には一致しない」（非一意性がある）ですが、少なくとも形状と周波数は極めて密接に関連していることがわかります。
2 次元プレート上のクラドニパターンと非常によく似ていますが、異なる周波数は、図 6-42 に示す積み重ねられた葉状構造 (Foliation) などの 3D 形状の異なるストライプ分布にも対応します。同様に、周波数が高くなるほど、縞模様の分布は複雑になります (左から右へ)。さらに、これらのスペクトルストライプは、全体の形状を「理解」しているように見えることもわかります。全体の形状の傾向に沿って規則的に自然に伸びており、乱雑さはまったくないだけでなく、形状が対称である対称的な形状も示しています (左足と右足の領域のストライプを参照)。任意の多様体形状で定義されたこのスペクトル分布を多様体高調波[33]と呼びます。各ストライプを流線と見なすと、全体の形状は流れ場と見なすことができます。いわゆる調和とは、流れ場に渦がなく（スピンが 0）、ソースもシンクもないため（発散が 0）、調和エネルギーが最小になり、最も安定した自然な流れ場が形成されることを意味します。

図 6-42 3D 形状のスペクトル縞 (画像提供: Bruno Lévy)
ヒント：
多様体調和関数は、任意の多様体表面上で定義されるラプラス-ベルトラミ微分演算子の特性関数 (固有関数) であり、2 次元平面上の離散フーリエ変換と球面上の球面調和関数を 3 次元の離散表面に拡張します。
関数のラプラス演算子は、その勾配の発散として定義されることはわかっています。ラプラス-ベルトラミ微分演算子は、正則領域上のラプラス演算子を多様体表面（非正則領域）に一般化したものです。
ラプラス-ベルトラミ微分演算子の特性モード（特性関数と固有値を含む）は、ヘルムホルツ波動方程式を満たします。ここで、スカラーは対応する固有値（固有値、形状を一意に識別できるため、一部の文献では形状 DNA とも呼ばれます）と呼ばれ、解は対応する特性関数と呼ばれます。離散化後、上式はを満たす固有値と固有関数のペアとして得られます。多様体調和変換 (MHT) により、元の空間領域座標を周波数領域座標に変換できます。

さらに研究すれば、もっと興味深い現象が見つかるでしょう。図 6-43 に示すように、フリンジ画像をより詳細なカラー画像に変換します (レイアウト上の理由により、ここでは最初の 3 つの周波数成分のみが取得されます)。この図には、実際には 2 つの 3D モデルがあります。下のモデルは、上の 3D モデルの詳細を保持した変形です (この章のセクション 6.2.3 を参照)。つまり、ローカル形状の詳細は厳密に保持され、等尺性は不変です。よく観察すると、変形前と変形後の 2 つのモデルの周波数スペクトル分布が非常に似ており、ほぼ同一であることがわかります。この便利なプロパティは、3D モデルの取得 (この章のセクション 6.4.3 を参照) で使用して、変形前と変形後の形状が同じ形状として分類されるようにすることができます。

図 6-43 変形前と変形後の形状スペクトル分布は類似しています。図 6-44 に示すように、別の 3D 形状の例を見てみましょう。図(a)は元の3D形状、図(b)は形状の低周波部分のみを残したスムージング効果(ローパスフィルター機能を使用)、図(c)は高周波部分のみを残したディテール強調効果(ハイパスフィルター機能を使用)、図(d)は特定の周波数帯域を特殊処理した後の誇張効果(バンドパスフィルター機能を使用)を示しています。
図 6-44 3D 形状フィルタリング 3 次元モデルのスペクトル解析の考え方は、フーリエ変換やウェーブレット変換に似ており、ある空間 (空間領域) から別の空間 (周波数領域) にデータを変換します。ラプラス行列は変換の中核であり、抽出された固有ベクトルと固有値には、3次元モデルに関する豊富な情報が含まれています。同時に、ラプラシアン行列は対称行列であり、固有ベクトルは直交します。最初の固有ベクトルは定数であり、正規化後はとなり、対応する固有値は 0 (つまり、最小の固有値) になります。この 3 次元モデルのラプラシアン行列の固有値の 1 つが 0 の場合、この 3 次元モデルには互いに接続されていない (分離された) サブモデルが含まれていると判断できます。ラプラス行列の2番目に小さい固有値（つまり、最小の非ゼロの固有値）に対応する固有ベクトルは、フィードラーベクトルと呼ばれます。

Fidel ベクトルは、3 次元モデルのセグメンテーションなど、多くの用途を持つ特殊なベクトルでもあります。また、フィードラーベクトルは、行列の最小の非ゼロ固有ベクトルであるだけでなく、行列に関連する最適化問題の最小値でもあります。したがって、数値最適化問題を解決するためにも使用できます。たとえば、フィードラーベクトルはレイリー商関数の最小値です。フィデルベクトルのこの特性を利用することで、制約付きの二次最適化問題を対応する固有ベクトル問題と等しくすることができ、固有ベクトル法を解くことで最適解を得ることができます。フィデルベクトルに加えて、他の固有ベクトルにも、3 次元モデルの情報と特性を記述できる構造がいくつかあります。特徴ベクトルの場合、値がゼロである要素の集合はノードセットと呼ばれます。これらのゼロ値要素は断片的に接続されています。これらのノードセットは、3 次元モデル全体をノード領域と呼ばれるいくつかの領域に分割し、次のノード領域定理 (Courant のノード領域定理) を満たします。ラプラス行列の固有値が小さいものから大きいものの順に並べられている場合、固有ベクトルには最大で 1 つのノード領域があります。この定理は、各固有ベクトルのノード面積の上限のみを指摘しており、ノード面積の具体的な値を得ることはできないことに注意してください。
さらに、スペクトルを使用して、形状の表現力を階層的に表示することもできます。図 6-45 に示すように、左から右に、それぞれ 3D アバターの低周波部分と高周波部分に対応します。形状の低周波部分は非常に滑らかに見えますがディテールが欠けているのに対し、形状の高周波部分はディテールが豊富で立体感が強いことがわかります。 3 次元モデルのすべての固有ベクトルが同じように重要というわけではないことに注意してください。3 次元モデルのほとんどの情報は、少数の小さな固有値に対応する固有ベクトルに含まれています。固有ベクトルが後ろにあるほど、3 次元モデル情報への寄与は小さくなります。たとえば、数千の頂点を持つ 3D モデルは、最初の数百の固有ベクトル (つまり、逆 MHT: 多様体調和逆変換、スペクトル領域座標を元の空間領域座標に戻す) を使用して実際に再構築できます。より多くの固有ベクトルは、含まれる情報が少なすぎるため破棄できます。

図 6-45 スペクトルに基づく形状の詳細の階層表示ご存知のように、現在の 3D 印刷の主な矛盾は、印刷機器の精度の限界とユーザーが期待する理想的な印刷結果との間に大きなギャップがあることです。 3D デジタル形状のインテリジェントな分析により、この矛盾は効果的に緩和されます。たとえば、スペクトル解析により、3D 形状の周波数領域特徴空間をインテリジェントに処理して、現在のプリンタ精度に最も適合する 3D デジタルモデルの生成を最適化できます (図の中間状態の 3D アバターモデルを選択するなど)。

ヒント：
形状スペクトルに加えて、形状分析のためのより一般的な理論であるモース関数もあります。 Moss関数の定義は非常にシンプルです。各頂点には値が割り当てられており、これらすべての値の集合は3次元モデル上で定義された関数と呼ぶことができます。この関数は、隣接する頂点の各ペアの値が異なるという条件を満たす限り、Moss 関数です。与えられた 3 次元モデル上では、無数の Moss 関数を定義できることがわかります。たとえば、各頂点の X 座標、Y 座標、Z 座標、または cosX、sinX などはすべて関数値として使用できます。そして、固有ベクトルをモス関数の変数として使用すると、前の多様体調和と同等になることがわかります。
Moss関数が与えられた後、3Dモデル上の各点には値があります。それを周囲の隣接点の値と比較することで、最大点（Maximum）、最小点（Minimum）、鞍点（Saddle）などの臨界点を得ることができます。数学的な意味は、第10章のセクション10.1.1に記載されています。これらのキーポイントに基づいて、3D メッシュモデルを四辺形メッシュ (各四辺形は通常、2 つの対角鞍点、1 つの最大点、および 1 つの最小点から構成されます) に分割して (キーポイントは積分線で接続されます)、図 6-46 の上部に示すように、いわゆるモースコンプレックスを形成し、これを使用して規則的な四辺形サブディビジョンメッシュを生成できます。

特定の 3D モデルには無数の Moss 関数がありますが、そのキーポイントの数は任意ではなく、Moss 関数のキーポイントとオイラー特性の関係を決定する Moss 定理を満たす必要があります (セクション 6.4.3 を参照)。

つまり、オイラー特性数 = 最大値点 + 最小値点 - 鞍点です。 Moss 関数は 3D モデルの全体的なトポロジ構造に関連していることがわかります。Moss 関数は各頂点の値を局所的に任意に与えることができますが、それでも 3D モデルのトポロジ (オイラー特性) によって全体的に制限されます。
キーポイントの分布と数をさらに正確に制御する必要がある場合は、調和関数を使用できます。この機能を使用すると、最大点と最小点を手動で設定し、線形方程式を解いて Moss 関数を取得できます。モスの定理によれば、極点の数が決まり、鞍点の数も決まります（ただし、調和関数では鞍点の位置を正確に制御することはできません）。調和関数の定義:

ここで、L はラプラス行列、X は解くべき未知の調和関数、F は極端な点を手動で指定するために使用されるベクトルです (たとえば、3 つの最大点と 2 つの最小点を指定します)。図 6-46 の下部に示すように、最大点を 1 つ (値は 1.0 に設定され、左の枝の上部に位置)、最小点を 1 つ (値は 0.0 に設定され、中央の幹の下部に位置) 指定し、得られる調和関数の値は 0.0 ～ 1.0 になります。
図6-46 上: 正四辺形細分グリッドを生成するために使用されたモス複合体; 下: 調和関数 (画像出典: [179,180])
上記で紹介したのは、すべて静的な形状分析です。実際には、動く形状の方が表現力があり、魅力的です。ディズニーの研究チームは近年この分野で多くの研究を行ってきました。図6-47に示すように、彼らは新しい3D設計ソフトウェアDefSense[187]を実演しました。これは、3Dモデルの実際の変形をシミュレートし、モデル内に圧電抵抗センサーを配置して、3Dプリント後の柔軟な材料の形状のさまざまな曲がり（曲げ、ねじれ、伸びなど）を感知します。この技術が成熟すると、ゲームコントローラー、電子楽器、3D 画像アニメーション、将来性の高いヒューマンコンピューターインタラクション (HCI) など、さまざまな分野に応用できるようになります。

図6-47 自身の変形を感知する3Dプリントオブジェクト（画像出典：[187]）
ディズニーの研究開発チームはまた、図6-48に示すように、3Dプリント可能なロボット[188]やアニメキャラクターを模倣したロボット[189]を自動的に生成するインテリジェントなインタラクティブ設計ソフトウェアも開発しました。関節で接続されたロボットの骨格構造が与えられ、各関節に仮想の単軸モーターが配置されます。ソフトウェアは、設計プロセスの面倒な部分を自動化し、形態、比率、歩行、動作に影響を与えることなく、モデル予測制御 (MPC) に基づいて体のさまざまな部分の動きを高度に調整することができます。設計が完成すると、ソフトウェアは電子接続を含む車体の完全な 3D ジオメトリを生成します。電子接続は単独で 3D プリントでき、ネジでサーボモーターに直接接続できます。チームの別の研究[189]では、生き生きとした興味深いアニメキャラクターを現実のものにするために、チームは3Dプリント技術を使用してアニメキャラクターを模倣したロボットを作成しました。ロボットをより生き生きと見せるためには、アニメキャラクターに似た外観を持つ必要があるだけでなく、さらに重要なのは、アニメキャラクターのさまざまな誇張された行動パターンを高度に模倣できることです。

図6-48 3Dプリント可能なロボットとアニメーションキャラクターを模倣したロボットのインタラクティブデザイン（画像出典：[188]、[189]）出典：San Ti Zhi Xun

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