[分析] ヒルベルト曲線に基づく3Dプリント精度試験方法の研究

3Dプリント技術は、レーザー、コンピュータ支援設計・製造、光化学、新素材などの科学技術の研究成果を統合したもので、機械加工設備を必要とせず、複雑な形状の物体を迅速かつ正確に製造することができます。 3D プリントの原理は、3 次元 CAD データと 3D プリンターを使用して材料の層を積み重ねて物理的なプロトタイプを作成し、製品の設計データをモデルに迅速かつ直接的に正確に変換することです。成形方法によって、レーザーなどの光源による成形技術と射出成形による成形技術の2つに分けられます。 3D プリンターの精度は印刷品質に直接影響するため、多くの研究者がキャリブレーションプレートとそのテストまたはキャリブレーション方法を研究して設計し、3D プリントヘッドの位置決めの問題を解決してきました。設計されたキャリブレーションプレートは特定の種類の 3D プリンターにのみ適用でき、異なる成形原理、異なる精度、異なる印刷サイズのプリンターのキャリブレーションには適用できません。

1. はじめにヒルベルト曲線は古典的なペアノ曲線族から派生したものです。ペアノ曲線族は、閉区間単位 I = [0, 1] から閉矩形単位 S = [1, 2] への連続写像です。また、2 次元以上の高次元空間を埋めることができるすべての連続フラクタル曲線の総称であるため、空間充填曲線とも呼ばれます。これは 1890 年にイタリアの数学者ペアノによって提案されました。ドイツの数学者ヒルベルトは 1891 年に初めてこの空間充填曲線を構築する幾何学的プロセスを提示し、構築された空間充填曲線は「どこでも連続だがどこでも微分可能ではない」という有名な仮説を提唱しました。ヒルベルト曲線を生成するための古典的なアルゴリズムには、バイト指向テクノロジ法、幾何学的方法、L システム法、IFS (反復関数システム) 法など、数多くあります。ヒルベルト曲線は FASS 曲線の一種で、均一な分布、一筆書き、制御可能な精度、スケーラビリティなどの利点があります。 3Dプリント製品の精度は主に単層の断面グラフィックスと層厚によって形成され、層厚はツール顕微鏡で観察することで得られるため、主なテスト内容は層厚の影響を受けない2次元曲線グラフィックスに重点を置いています。この論文の主な目的は、3D プリント製品の精密テストサンプルを設計・開発し、その測定および計測特性を分析し、テスト方法を提案することです。

まず、ヒルベルト曲線を使用して単層断面図形を生成し、印刷製品の寸法精度を原始的なテスト方法で測定します。さらに、印刷製品の歪み、真直度、対角誤差、平行度、倍率、走査直線性などの計測特性をテストして、形状と位置の精度を測定します。設計・開発された精密テストテンプレートとテスト方法は、さまざまな印刷サイズに適応でき、さまざまな精度に自動的に適応し、リアルタイムで高速で、変形しにくく、テスト精度が高いという特徴があります。

2 ヒルベルト曲線生成原理
2.1 プリミティブと進化法ヒルベルト曲線は、正方形の領域を連続的に 4 つに分割して、開始点から終了点までの線の位置を再帰的に計算するプロセスです。そこで、ヒルベルト曲線の各線分を2×2の小さな正方形を最小の調査単位として徐々に細分化して再帰的に計算し、曲線を3つの線分で構成された折れ線であるプリミティブとして定義します。最終的な曲線は、図 1 に示すように、線分で接続されたプリミティブで構成されます。

2.2 進化のルール 図 2 に示すように、赤い実線は初期状態を表します。1 回の進化の後、青い実線は 3 つの太い線分で接続された 4 つの部分で構成されていることがわかります。第 3 象限と第 4 象限の図形は、前のレベルの図形全体を変換したものです (H1、第 2 象限は前のレベルの図形全体を時計回りに 90 度回転させた図形、第 1 象限は前のレベルの図形全体を反時計回りに 90 度回転させた図形です。この関係は偶然ではありません。このルールに従って進化し続けると、黒い実線が得られます)。

進化のルールから次のルールが得られます。現在の状態が Fk+1 で、前の状態が Fk であると仮定します。 Fk+1 は 4 つの部分から構成されます。Fk+1 と Fk の関係を図 2 に示します。 Fk→は時計回りに90度回転を意味し、Fk←は反時計回りに90度回転を意味します。つまり、式(1)に示すように、Fk+1の第3象限と第4象限の2つの図形はFkのコピーであり、第1象限と第2象限の2つの図形はFkの回転コピーである。Ｆｋ＋１＝Ｆｋ→Ｆｋ ←ＦｋＦ［］ｋ（１）

2.3 開発計画 標準機器は、一連の標準テストサンプルで構成されています。ヒルベルト曲線の輪郭境界は 3D プリンターの印刷範囲に応じて決定され、反復回数は印刷精度に応じて設定され、図 2 および 3 に示すように、異なる精度の印刷サンプルが生成されます。

曲線は、プリンターノズルの印刷軌跡として、CAD モデル処理ソフトウェアを介して 3D プリンターに入力されます。これらの標準試験片の基本正方形の辺の長さを測定することにより、3D プリンターで印刷される基本サイズが得られます。このソリューションは、3D プリンターの多様な機能を考慮し、あらゆる印刷範囲のプリンターに拡張でき、広い範囲をカバーし、信頼性の高い測定と変形しにくい印刷という利点があります。

3 基本要素試験条件と試験方法
3.1 試験条件 処理室温度：（20±10）℃。測定室の相対湿度：80%以下。校正の前に、印刷された試験片と校正装置は、2 時間以上等温バランスを保つ必要があります。 3.2 試験装置分析、調査、実験の結果得られた試験項目と校正装置を表1に示す。

試験サンプル仕様規格及びその他設備 0.020mm＜g≦0. 045mm分解能（0.1～0.5）μm、倍率50～200倍の光学測定または投影システム。 0.045＜g≦5mm、分解能1μm、倍率10～50倍、工具顕微鏡または投影機5mm＜g＜1 25mm、分解能（0.01～0.05）mm、デジタルディスプレイまたはノギス、または汎用投影機。

3.3 試験方法 プリミティブのエッジの長さ a は、X 方向と Y 方向で測定されます。要素サイズが 5 mm 未満の場合は非接触測定方法を使用でき、メッシュサイズが 5 mm を超える場合は接触測定方法を使用できます。測定に工具顕微鏡を使用する場合は、測定対象要素のエッジの中心に十字線を X 方向または Y 方向に押し当てて測定します。テンプレートの端に最も近いものも含め、印刷されたプレート上のすべてのプリミティブが検出可能である必要があります。プリミティブが 20 個以下のテストパネルの場合は、すべてのプリミティブの寸法をチェックする必要があります。プリミティブが 20 個を超えるテストパネルの場合は、次の手順に従う必要があります。（１）最大サイズ偏差ヒルベルト曲線全体を観察し、サイズが大きすぎるプリミティブを測定します。測定は半幅圧接線法で行い、測定された最大メッシュサイズg+Xと基本サイズgの差を測定結果とする。
（２）プリミティブの平均サイズ偏差：少なくとも２つのサンプリング位置が選択され、X方向とY方向の各位置で10個の連続したプリミティブが選択され、X方向とY方向に沿って連続測定が行われます。
同時にプリミティブサイズを測定し、各サンプリング位置のX方向とY方向の平均プリミティブサイズg±Yをそれぞれ計算します。プリミティブの平均サイズと基本サイズ g の差が平均サイズ偏差となり、平均サイズが測定結果として採用されます。
（３）最も代表的なサンプル位置、すなわち、g+Xとg+Zの間のサイズのプリミティブがより頻繁に出現する位置において、最大サイズg+Xと中間サイズg+Zの間のサイズのプリミティブの数を決定する。疑わしいプリミティブをテストする。プリミティブの数が 100 未満の場合、ヒルベルト曲線全体のプリミティブがテストされ、サイズが g+X から g+Z までの間のプリミティブの数が計算されます。この数とプリミティブの総数の比率がテスト結果となります。プリミティブが 50 個未満のヒルベルト曲線の場合、テスト結果は、プリミティブサイズが g+X と g+Z の間のプリミティブの数になります。（４）プリミティブの基本サイズ偏差の決定。いくつかのデータは表２に示されている。プリミティブサイズの範囲は（０．０２０
～１２５）ｍｍ。

4. 印刷精度の評価
4.1 歪度左上隅、左下隅、右上隅、右下隅の 4 つのプリミティブを取り、図 5 に示すように、左上隅プリミティブの左端点と左下隅プリミティブの左端点の間の距離 AC を測定します。右上隅のプリミティブの右端点と右下隅のプリミティブの右端点間の距離 FH の差が歪度です。

4.2 真直度水平真直度を測定するときは、境界線を基準線として、読み取り顕微鏡を使用して、上端に最も近いプリミティブのサンプルラインが基準線から外れている最大距離を測定します。垂直真直度は、左境界に最も近い列のプリミティブのサンプルを採取し、各プリミティブ線と基準線の最大距離を測定し、式（２）に従って真直度を計算することによって測定される。真直度 = |L1/L0| × 100% (2) ここで、L1はサンプル上の線が基準線から外れる最大距離（mm）、L0は測定線の長さ（mm）です。

4.3 対角誤差 印刷サンプルの枠で形成される長方形の2つの対角線の長さを測定し、2つの対角線の差が対角誤差となります。

4.4 並列処理点 B と点 E の間の距離と、それぞれ BD と EG に沿った下境界線を測定します。距離の差が縦方向の平行度です。それぞれ IK と JL に沿って、点 I と J の間の距離と右フレームラインの距離を測定します。距離の差が横方向の平行度です。 4.5 倍率サンプルの水平および垂直スケール上で 50 mm 間隔で 2 つの点を選択し、実際の長さ L を測定します。倍率は式（３）に従って計算される。倍率 = L/50×100% (3) ここで、Lはサンプル上の2点間の長さ（mm）です。

4.6 スキャンリニア 相互接続された 4 つのプリミティブを 1 つのユニットとして、水平定規上の均等に分散された 5 つの位置をランダムに選択し、それらの実際の長さの値 L を測定し、実際の長さの値の最大差をスキャンの直線性として計算します。

5 結論 幾何学的手法を使用してヒルベルト曲線を生成することにより、さまざまなサイズと精度の印刷テストサンプルを効率的かつ正確に生成できます。キャリブレーションポイント配列と線分を組み合わせた幾何学的手法と比較すると、この方法は均一な分布、ワンストローク、制御可能な精度、およびスケーラビリティなどの利点があります。本論文では、さまざまな基本サイズの印刷精度テストサンプルを生成し、一定の普遍性を持つ、それらの寸法精度と印刷サンプルの位置精度および形状精度を測定する方法を提案します。現在の研究状況と比較すると、設計された精密試験片は、柔軟な精度調整機能を備えており、リアルタイムで高速で、変形しにくく、さまざまなサイズに適応できます。次のステップは、3D 印刷技術パラメータが部品の表面形態に与える影響を研究し、印刷製品の表面品質テスト方法を設計し、3D 印刷の精度基準をさらに向上させることです。

編集者: Antarctic Bear 著者: Zhang Ningning (厦門計量検定所)

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